Derivate: tabel, reguli și aplicații la BAC

Subpunctul a) de la prima problemă a Subiectului al III-lea este, aproape invariabil, „calculează f'(x)". Cinci puncte, cel mai previzibil loc din toată lucrarea, și singurul lucru de care ai nevoie ca să le iei sunt un tabel de șaisprezece rânduri și cinci reguli. Ce urmează după — limite, asimptote, monotonie, extreme — se sprijină pe derivata de la a). Dacă a) e greșită, cad și b), și c).

Structura completă a probei e în ghidul de matematică pentru BAC; restul formulelor, în fișa de formule pe capitole.

Tabelul derivatelor uzuale

| f(x) | f'(x) | Condiții | |---|---|---| | c (constantă) | 0 | — | | x | 1 | — | | x^n | n·x^(n−1) | n natural nenul | | √x | 1/(2√x) | x > 0 | | 1/x | −1/x^2 | x ≠ 0 | | e^x | e^x | — | | a^x | a^x·ln a | a > 0, a ≠ 1 | | ln x | 1/x | x > 0 | | log_a x | 1/(x·ln a) | x > 0, a > 0, a ≠ 1 | | sin x | cos x | — | | cos x | −sin x | — | | tg x | 1/cos^2 x | cos x ≠ 0 | | ctg x | −1/sin^2 x | sin x ≠ 0 | | arcsin x | 1/√(1 − x^2) | x în (−1, 1) | | arccos x | −1/√(1 − x^2) | x în (−1, 1) | | arctg x | 1/(1 + x^2) | — |

Trei rânduri sunt responsabile pentru majoritatea greșelilor. (cos x)' = −sin x, cu minus; sinusul și cosinusul își schimbă rolurile la derivare, dar numai unul dintre ei primește semnul. (1/x)' = −1/x^2, tot cu minus — se deduce din x^(−1), iar exponentul −1 coboară în față. Și (√x)' = 1/(2√x), unde doiul de la numitor se pierde des; se verifică scriind √x = x^(1/2) și aplicând regula puterii.

Cele cinci reguli

• Sumă și diferență: (f ± g)' = f' ± g'
• Constantă: (c·f)' = c·f'
• Produs: (f·g)' = f'·g + f·g'
• Cât: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g^2, pentru g(x) ≠ 0
• Compunere: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Regula produsului nu e simetrică la memorare, dar rezultatul e. Regula câtului este: minus, în ordinea f'g − fg', și pătrat la numitor. Dacă inversezi ordinea, semnul derivatei se inversează și toată discuția de monotonie de la subpunctul c) iese pe dos — cu calcule impecabile.

Compunerea, „regula lanțului", e locul unde se pierd cele mai multe puncte la funcțiile de tip ln(ceva), e^(ceva) sau √(ceva). Derivezi funcția din exterior, apoi înmulțești cu derivata celei din interior. Nu e un pas opțional.

Cele cinci tipuri de exercițiu de la Subiectul al III-lea

Prima problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte de câte 5 puncte, iar tiparul lor e stabil

1. Calculul derivatei. Subpunctul a). Se cere derivata întâi, uneori și cea de ordinul al doilea.
2. Ecuația tangentei într-un punct: y − f(x_0) = f'(x_0)·(x − x_0). Panta tangentei este derivata în punct.
3. Limite și asimptote. Aici derivata intră prin regula lui l'Hôpital, aplicabilă doar în cazurile 0/0 și ∞/∞.
4. Monotonie și puncte de extrem. Studiezi semnul lui f', faci tabelul, citești unde crește și unde scade. Punctele în care f' se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de extrem.
5. Inegalități și convexitate. Subpunctul c) tipic pentru 9+: demonstrezi o inegalitate arătând că o funcție ajutătoare are un minim pozitiv, sau studiezi semnul lui f'' pentru convexitate.

La M2 nu ai teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange — sunt doar în programa de mate-info, împreună cu derivatele de ordin superior folosite în demonstrații. Diferențele complete sunt în comparația M1, M2, M3 și în programa M1.

Trei exerciții rezolvate integral

(exerciții originale Edvanti, în tiparul Subiectului al III-lea)

Exercițiul 1 — derivata câtului și monotonia

Cerință. Fie f: (2, ∞) → R, f(x) = (x^2 + 1)/(x − 2). a) Calculează f'(x). b) Determină intervalele de monotonie ale funcției f.

a) Aplic regula câtului, cu u = x^2 + 1 și v = x − 2. Am u' = 2x și v' = 1.

f'(x) = [2x·(x − 2) − (x^2 + 1)·1]/(x − 2)^2

La numărător: 2x^2 − 4x − x^2 − 1 = x^2 − 4x − 1.

f'(x) = (x^2 − 4x − 1)/(x − 2)^2, pentru x > 2.

b) Numitorul e un pătrat, deci strict pozitiv pe tot domeniul. Semnul lui f' e dat exclusiv de numărător.

x^2 − 4x − 1 = 0 are Δ = 16 + 4 = 20, deci x = (4 ± 2√5)/2 = 2 ± √5. Cum √5 ≈ 2,24, rădăcinile sunt 2 − √5 ≈ −0,24 și 2 + √5 ≈ 4,24. Prima nu e în domeniu.

Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci e negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor. Verific cu două valori: la x = 3, avem 9 − 12 − 1 = −4 < 0; la x = 5, avem 25 − 20 − 1 = 4 > 0.

f este strict descrescătoare pe (2, 2 + √5] și strict crescătoare pe [2 + √5, ∞). În x = 2 + √5 are un punct de minim.

Greșeala tipică. Numitorul scris fără pătrat: f'(x) = (x^2 − 4x − 1)/(x − 2). Pe domeniul (2, ∞) semnul lui x − 2 e tot pozitiv, deci la subpunctul b) răspunsul iese, din întâmplare, corect. Pe alt domeniu nu ar mai ieși. A doua variantă, mai scumpă: ordinea inversată, (x^2 + 1)·1 − 2x·(x − 2), care dă −x^2 + 4x + 1 și inversează complet monotonia. Cinci puncte la a), încă cinci la b), din același semn.

Exercițiul 2 — compunerea și punctul de minim

Cerință. Fie f: R → R, f(x) = ln(x^2 + 4). a) Calculează f'(x). b) Arată că f(x) ≥ ln 4, pentru orice x real.

a) Funcția e o compunere: logaritm aplicat lui x^2 + 4. Derivez exteriorul, apoi înmulțesc cu derivata interiorului.

f'(x) = [1/(x^2 + 4)]·(x^2 + 4)' = 2x/(x^2 + 4)

b) Numitorul e strict pozitiv pentru orice x real, deci semnul lui f' e semnul lui 2x. Rezultă f'(x) < 0 pe (−∞, 0), f'(0) = 0 și f'(x) > 0 pe (0, ∞).

Funcția scade până în 0 și crește după, deci x = 0 e punct de minim global. Valoarea minimă e f(0) = ln(0 + 4) = ln 4. Prin urmare f(x) ≥ ln 4 pentru orice x real, cu egalitate doar în x = 0.

Greșeala tipică. f'(x) = 1/(x^2 + 4). Elevul aplică tabelul — derivata lui ln este 1 supra argument — și se oprește acolo. Rezultatul e o funcție strict pozitivă pe tot R, deci concluzia de la b) devine „f e strict crescătoare pe R", ceea ce e fals: funcția e evident pară, f(−1) = f(1).

Testul care prinde greșeala în trei secunde: dacă funcția e pară, derivata ei trebuie să fie impară, adică simetrică față de origine. 2x/(x^2 + 4) este impară. 1/(x^2 + 4) este pară. Nu poate fi derivata unei funcții pare.

Exercițiul 3 — produsul și o limită

Cerință. Fie f: R → R, f(x) = (x^2 + 3x)·e^x. a) Calculează f'(x). b) Calculează limita lui f(x)/x când x tinde la 0.

a) Regula produsului, cu u = x^2 + 3x și v = e^x. Am u' = 2x + 3 și v' = e^x.

f'(x) = (2x + 3)·e^x + (x^2 + 3x)·e^x = (x^2 + 5x + 3)·e^x

Am dat factor comun pe e^x și am adunat: (2x + 3) + (x^2 + 3x) = x^2 + 5x + 3.

b) f(0) = 0, deci raportul e o nedeterminare 0/0. Cea mai scurtă cale nu e l'Hôpital, ci simplificarea f(x)/x = (x^2 + 3x)·e^x / x = x(x + 3)·e^x / x = (x + 3)·e^x, pentru x ≠ 0.

Limita când x tinde la 0 este (0 + 3)·e^0 = 3.

Verificare pe a doua cale: cum f(0) = 0, raportul f(x)/x este chiar raportul din definiția derivatei în 0, deci limita este f'(0) = (0 + 0 + 3)·e^0 = 3. Aceeași valoare.

Greșeala tipică, la a). f'(x) = (2x + 3)·e^x. Derivata produsului luată ca produs al derivatelor, sau al doilea termen pur și simplu uitat pentru că e^x derivat rămâne e^x și „nu se schimbă nimic". Se schimbă: apare al doilea termen.

Greșeala tipică, la b). Elevul aplică l'Hôpital — ceea ce e permis, e caz 0/0 — dar derivează raportul cu regula câtului în loc să deriveze separat numărătorul și numitorul. Regula lui l'Hôpital înlocuiește f/g cu f'/g', nu cu (f/g)'. Aici ar da (x^2 + 5x + 3)e^x / 1, cu limita 3 în x = 0 — aceeași valoare, deci merge. Cu regula câtului aplicată din greșeală, nu.

Derivata a doua: convexitate și inflexiune

Se obține derivând încă o dată, cu aceleași reguli, și răspunde la o singură întrebare: cum se curbează graficul. Dacă f''(x) > 0 pe un interval, funcția e convexă acolo — graficul ține apa. Dacă f''(x) < 0, e concavă. Punctul în care f'' se anulează și își schimbă semnul e punct de inflexiune, adică locul unde curbura se răstoarnă.

Confuzia care se face constant: f' decide dacă funcția crește sau scade, f'' decide cum se curbează. Sunt întrebări diferite, iar o funcție poate să crească și convex, și concav. Dacă la subpunctul c) ți se cere convexitatea și tu studiezi semnul lui f', ai rezolvat altă problemă.

Un punct în care f'(x_0) = 0 nu e automat punct de extrem: trebuie ca f' să își schimbe semnul acolo. Pentru f(x) = x^3, avem f'(0) = 0, dar derivata e pozitivă și în stânga, și în dreapta, deci funcția e strict crescătoare și nu are extrem.

Cum îți verifici singur derivata în examen

Trei controale care durează sub un minut fiecare și prind aproape tot.

Paritatea. Derivata unei funcții pare e impară și invers. Cel mai rapid test, folosit în exercițiul 2.

Valoarea într-un punct comod. Alegi x = 0 sau x = 1, calculezi f' din formula ta și compari cu panta pe care o are graficul acolo, dacă o poți estima. Nu e o demonstrație, e o plasă de siguranță.

Gradul. Derivata unui polinom de grad n e de grad n − 1. Dacă ai derivat un polinom de gradul al treilea și ți-a ieșit tot gradul al treilea, ai uitat să cobori un exponent undeva.

Ce se punctează efectiv și de ce contează să scrii pașii, chiar când nu termini: cum se citește un barem de matematică.

Pasul următor cu Edvanti

(recomandare Edvanti)

Tabelul se învață într-o seară. Regula lanțului se înțelege în douăzeci de minute. Ce nu se rezolvă din citit e trecerea de la „știu regula" la „o aplic corect a treia oară la rând, sub cronometru, pe o funcție pe care nu am mai văzut-o" — iar între cele două stau câteva zeci de exerciții corectate de cineva care îți arată unde s-a rupt calculul, nu doar că e greșit.

Cursul de matematică Edvanti are cursuri live pe subiect, înregistrări la care revii, materiale și scheme gata făcute, rezolvări la subiectele din anii trecuți și mentori la care poți întreba când te blochezi între lecții. Dacă nu știi în ce ordine să iei materia, ședința de strategie e o discuție de aproximativ o oră după care pleci cu un plan.

Nu îți promitem nota 10. Scrie și pe site-ul nostru.

Întrebări frecvente

Trebuie să știu derivatele funcțiilor arcsin, arccos și arctg? Apar rar ca cerință directă, dar apar în tabel și pot fi necesare la o primitivă de tipul 1/(1 + x^2). Le înveți ultimele, după ce restul tabelului e sigur.

Când am voie să folosesc regula lui l'Hôpital? Numai în cazurile de nedeterminare 0/0 și ∞/∞, și numai după ce ai scris explicit că limita e de acel tip. Aplicată pe o limită determinată, dă un rezultat greșit. Și se derivează separat numărătorul și numitorul, nu raportul.

Ce fac dacă nu îmi iese derivata la subpunctul a)? Scrii tot ce ai: regula folosită, u, v, u', v' și forma neterminată. Baremul acordă punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, iar la b) și c) poți continua cu rezultatul obținut — dacă e greșit, pierzi punctele de la a), nu neapărat toate cele de după.

Cât timp îmi ia să stăpânesc capitolul? Tabelul plus cele cinci reguli: două-trei zile de lucru pe hârtie. Aplicațiile de la subpunctele b) și c) sunt altă discuție, de câteva săptămâni. Ordinea pe săptămâni e în planul de pregătire pe trei luni.

Continuă cu

• Fișa de formule pe capitole — restul formulelor de la BAC, cu condițiile de aplicare
• BAC Matematică: structura probei și de unde începi
• Programa M1, capitol cu capitol — ce se cere în plus la mate-info
• Ce diferă concret între M1, M2 și M3
• Cum se citește un barem de matematică

Autor: Echipa Edvanti · Ultima verificare: 31 august 2026 Jurnalul modificărilor: 31.08.2026 — publicare inițială. Tabelul și regulile sunt verificate față de programa de examen în vigoare (Anexa nr. 2 la OM nr. 3237/05.02.2021); cele trei exerciții sunt originale și au fost recalculate independent. 31.08.2026 — QA final: „patru reguli" corectat în „cinci reguli" în trei locuri (lista conține cinci reguli: sumă/diferență, constantă, produs, cât, compunere). Următoarea actualizare obligatorie: la publicarea programei și a modelelor de subiect pentru 2027.