Programa BAC Matematică M2: capitole și competențe

Programa M2 se numește oficial M_șt-nat și o dai dacă absolvi filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii. Acoperă materia de la clasa a IX-a la a XII-a — cu 4 ore pe săptămână în a IX-a și a X-a și 3 ore în a XI-a și a XII-a. Diferența de ore explică tot: conținuturile de a IX-a și a X-a sunt aceleași ca la mate-info, iar toată reducerea se produce la clasele a XI-a și a XII-a.

Documentul de referință e Anexa nr. 2 la OM nr. 3237/05.02.2021. Mai jos, capitolele — dar și partea care nu apare în document: unde te întâlnești cu fiecare în subiect, cât valorează și dacă merită timp.

Lista de capitole vine din programa oficială. Coloana „puncte tipice" e o estimare redacțională, construită pe structura fixă a probei — Subiectul I are șase exerciții de câte 5 puncte, Subiectele II și III au câte două probleme cu a), b), c) — și pe modelele oficiale de barem. Nu sunt cifre publicate de minister. Mecanica punctajelor e explicată în ghidul de matematică.

Clasele a IX-a și a X-a: tot Subiectul I

Aceste două clase acoperă, practic, cele 30 de puncte de la Subiectul I. Sunt și cea mai ieftină parte a programei.

| Capitol | Clasa | Puncte tipice | Merită? | |---|---|---|---| | Mulțimi și elemente de logică matematică; numere reale, modul, parte întreagă, intervale, inducție | a IX-a | 0–5 | Bază. Fără ea pierzi puncte în tot restul lucrării. | | Șiruri: progresii aritmetice și geometrice, termenul general, suma primilor n termeni | a IX-a | 5 | Da. Item frecvent la Subiectul I, se învață repede. | | Funcții, lecturi grafice, compunere; funcția de gradul I | a IX-a | 0–5 | Da. | | Funcția de gradul al II-lea, relațiile lui Viète, semnul, vârful parabolei | a IX-a | 5 | Da. Apare aproape în fiecare variantă. | | Vectori în plan; coliniaritate, concurență, paralelism | a IX-a | 0–5 | Prioritate mică dacă ai puțin timp. | | Trigonometrie: cerc trigonometric, reducerea la primul cadran, formulele pentru sin(a±b), cos(a±b), sin2a, cos2a | a IX-a | 5 | Da. | | Produs scalar, teorema cosinusului, teorema sinusurilor, raza cercului înscris și circumscris, arii | a IX-a | 5 | Da. Item aproape fix. | | Mulțimi de numere: puteri, radicali, logaritmi, numere complexe, ecuații bipătrate | a X-a | 5–10 | Da. Cel mai bun raport efort/punctaj din toată programa. | | Funcții și ecuații: putere, radical, exponențială, logaritmică; injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; ecuații cu radicali, exponențiale, logaritmice, trigonometrice | a X-a | 5 | Da. | | Metode de numărare: permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton | a X-a | 0–5 | Da, foarte ieftin. | | Matematici financiare: procente, dobânzi, TVA, medii, probabilități | a X-a | 5 | Da. Cel mai ieftin punct din lucrare. | | Geometrie analitică: distanță, pantă, ecuația dreptei, paralelism, perpendicularitate, arii | a X-a | 5 | Da. |

Clasa a XI-a

| Capitol | Unde apare | Puncte tipice | Merită? | |---|---|---|---| | Matrice: operații și proprietăți | Subiectul II, problema 1, a) și b) | 5–10 | Da. Algoritmic, se învață prin repetiție. | | Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți | Subiectul II, problema 1 | 5 | Da. | | Sisteme liniare: matrice inversabile din M_2 și M_3, ecuații matriceale, sisteme cu cel mult 3 necunoscute, forma matriceală, metoda lui Cramer | Subiectul II, problema 1, c) | 5 | Da. Nu ai rang și nu ai discuție Kroneker-Capelli — e mult mai puțin decât la M1. | | Limite de funcții: vecinătăți, limite laterale, calculul limitelor pentru funcțiile studiate, cazurile 0/0, ∞/∞, 0·∞, asimptote verticale, orizontale, oblice | Subiectul III, problema 1, b) | 5 | Da. | | Funcții continue, operații cu funcții continue, proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue | Subiectul III, problema 1 | 0–5 | Mediu ca frecvență, dar e instrumentul pentru subpunctele c). | | Funcții derivabile: tangenta la o curbă, derivate de ordin I și II, regulile lui l'Hospital pentru 0/0 și ∞/∞ | Subiectul III, problema 1, a) | 5–10 | Da. Prioritate maximă: subpunctul a) e „calculează f'(x)". | | Studiul funcțiilor cu derivate: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate, reprezentare grafică | Subiectul III, problema 1, c) | 5 | Da. |

Atenție la o absență ușor de ratat: în programa M2 pentru clasa a XI-a nu apar limitele de șiruri. Progresiile de la clasa a IX-a intră, dar șirurile convergente, proprietatea lui Weierstrass și numărul e sunt doar în programa de mate-info. Dacă lucrezi pe o culegere de M1, capitolul acela nu îți folosește.

Clasa a XII-a

| Capitol | Unde apare | Puncte tipice | Merită? | |---|---|---|---| | Grupuri: lege de compoziție și proprietăți, grup, grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, morfism și izomorfism de grupuri | Subiectul II, problema 2 | 10–15 | Da. Tiparele sunt puține și se repetă. | | Inele și corpuri: inele numerice, Z_n, inele de matrice; corpuri numerice, Z_p cu p prim | Subiectul II, problema 2 | 0–5 | Mediu. Apar mai rar decât grupurile. | | Primitive: primitivele unei funcții pe un interval, integrala nedefinită, liniaritate, primitive uzuale | Subiectul III, problema 2, a) | 5 | Da. | | Integrala definită prin formula Leibniz-Newton, liniaritate, monotonie, aditivitate; integrare prin părți, schimbare de variabilă, descompunere în fracții simple (grad Q ≤ 4) | Subiectul III, problema 2, b) și c) | 10 | Da la b). Subpunctul c) doar dacă țintești 9+. |

La M2, integrala se definește direct prin formula Leibniz-Newton. Nu ai sume Riemann, nu ai diviziuni, nu ai teorema de medie — sunt doar în programa M1. Scapi de partea teoretică grea, dar subpunctele c) de la integrale se sprijină atunci pe altceva, de obicei pe o inegalitate sau pe monotonie.

Ce nu intră (și te încurcă din culegeri)

Polinoamele nu apar în programa de examen actuală. Conținuturile de clasa a XII-a sunt structurile algebrice și analiza matematică. Culegerile tipărite înainte de 2021 au capitole de polinoame care nu îți folosesc.

Geometria în spațiu nu apare în programa de examen. Geometria din subiect e cea analitică de a X-a și cea vectorial-trigonometrică de a IX-a.

Teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange nu sunt în programa M2. Nici rangul unei matrice, nici sistemele cu 4 necunoscute, nici grupurile de permutări, nici subgrupurile — toate sunt de M1. Comparația completă e în ce diferă între M1, M2 și M3.

Un exercițiu de nivel M2, rezolvat pas cu pas

(exercițiu original Edvanti, nivel Subiectul al II-lea, problema 1)

Cerință. Fie A = (2 1; 4 3), matrice din M_2(R). Prima linie e 2 și 1, a doua linie e 4 și 3. a) Calculează det(A). b) Arată că A^2 − 5A + 2·I_2 = O_2. c) Determină inversa matricei A.

a) det(A) = 2·3 − 1·4 = 6 − 4 = 2.

b) Calculez A^2 = A·A, linie cu coloană

poziția (1,1): 2·2 + 1·4 = 8
poziția (1,2): 2·1 + 1·3 = 5
poziția (2,1): 4·2 + 3·4 = 20
poziția (2,2): 4·1 + 3·3 = 13

Deci A^2 = (8 5; 20 13). Apoi 5A = (10 5; 20 15) și 2·I_2 = (2 0; 0 2).

A^2 − 5A + 2·I_2 = (8 − 10 + 2, 5 − 5 + 0; 20 − 20 + 0, 13 − 15 + 2) = (0 0; 0 0) = O_2.

c) Din relația de la b): A^2 − 5A = −2·I_2, adică A·(5·I_2 − A) = 2·I_2. Împart la 2 și obțin A^(−1) = (5·I_2 − A)/2.

5·I_2 − A = (5 − 2, 0 − 1; 0 − 4, 5 − 3) = (3 −1; −4 2), deci A^(−1) = (3/2, −1/2; −2, 1).

Verific cu formula directă: pentru A = (a b; c d) cu det(A) ≠ 0, A^(−1) = (1/det A)·(d −b; −c a) = (1/2)·(3 −1; −4 2). Același rezultat.

Aici pierzi punctul, uite de ce

Două greșeli, amândouă frecvente, amândouă costă tot subpunctul.

La b): A^2 calculat ca „fiecare element la pătrat". Adică (4 1; 16 9). Produsul se face linie pe coloană: elementul de pe poziția (i, j) e suma produselor dintre linia i din prima matrice și coloana j din a doua. Dacă greșești aici, pierzi restul subpunctului — și pornești la c) de la o relație falsă.

La c): matricea adjunctă scrisă greșit. Formula corectă pentru ordinul 2 e A^(−1) = (1/det A)·(d −b; −c a). Observă: a și d își schimbă locul între ele, iar b și c își schimbă semnul, dar rămân pe loc. Greșeala clasică e să se schimbe doar semnele: (a −b; −c d). Aici asta ar da (1/2)·(2 −1; −4 3), care nu e inversa lui A.

Reflexul care te salvează: după ce calculezi o inversă, înmulțește-o cu A. Dacă nu iese matricea unitate, ai greșit undeva. Treizeci de secunde care pot salva 5 puncte. Cum se acordă punctajul intermediar e explicat în cum citești baremul.

Ordinea în care ataci programa

Dacă ținta e promovarea, ordinea de mai jos e cea care aduce cele mai multe puncte pentru cel mai puțin efort

Clasa a X-a integral: logaritmi, numere complexe, combinatorică, probabilități, geometrie analitică.
Derivate — tabelul și regulile. Un subpunct a) sigur la Subiectul al III-lea.
Primitive uzuale și Leibniz-Newton. Al doilea subpunct a).
Matrice și determinanți de ordin 2 și 3, calcul direct. Al treilea subpunct a).
Legea de compoziție: forma canonică, element neutru, simetrizabile. Al patrulea.
Trigonometrie în triunghi, progresii, funcția de gradul al II-lea — restul Subiectului I.
Abia apoi: sisteme, limite cu cazuri de nedeterminare, subpunctele c).

Primele cinci puncte din listă înseamnă, într-o lucrare obișnuită, în jur de 50 de puncte din lucrare — adică nota 6 cu cele 10 din oficiu, fără să atingi nimic din partea grea. Traseul pe săptămâni e în planul pe 3 luni; metoda de lucru, în cum înveți pentru BAC.

Pasul următor cu Edvanti

(recomandare Edvanti)

Programa îți spune ce intră. Nu îți spune dacă ce scrii pe foaie ia punctele — iar la matematică diferența dintre „știu să fac" și „iau punctajul" e, de obicei, un rând de verificare care lipsește.

Cursul de matematică Edvanti are cursuri live pe subiect, înregistrări la care revii, scheme și materiale gata făcute, rezolvări la subiectele de BAC din anii trecuți și mentori la care ajungi când te blochezi. Dacă vrei întâi ordinea și prioritățile, ședința de strategie durează aproximativ o oră și se termină cu un plan scris. Nu îți promitem nota 10.

Întrebări frecvente

Intră toată materia de la clasă? Nu. Programa de examen e o selecție din programa școlară. Geometria în spațiu și polinoamele, de exemplu, nu apar.

Pot să folosesc o culegere de M1? Pentru clasele a IX-a și a X-a, da — conținuturile sunt aceleași. Pentru a XI-a și a XII-a o folosești selectiv, sărind peste rang, Rolle, Lagrange, sume Riemann și subgrupuri.

Cât cântăresc clasele a XI-a și a XII-a? Practic, tot Subiectul al II-lea și tot Subiectul al III-lea: 60 din cele 90 de puncte.

Unde găsesc programa oficială? În Anexa nr. 2 la OM nr. 3237/05.02.2021, publicată pe edu.ro. Modelele de subiecte și baremele apar pe subiecte.edu.ro, separat pentru M_șt-nat.

Continuă cu

Autor: Echipa Edvanti · Ultima verificare: 30 august 2026 Jurnalul modificărilor: 30.08.2026 — publicare inițială, pe baza programei M_șt-nat din Anexa nr. 2 la OM nr. 3237/05.02.2021.